SOAL OLIMPIADE ASTRONOMI DAN PEMBAHASAN

Soal:

Sebuah bintang dengan massa 5 kali massa Matahari berada di tahap akhir evolusinya. Bintang tersebut mengalami keruntuhan gravitasi dan diprediksi akan menjadi sebuah lubang hitam. Hitung radius Schwarzschild (radius lubang hitam) dari bintang ini!

Diketahui:

• Massa Matahari $M_{\odot} = 1.989 \times 10^{30}$ kg
• Konstanta gravitasi $G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$
  
• Kecepatan cahaya $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$
  

Jawaban:

Radius Schwarzschild $R_s$ dihitung menggunakan rumus:

$$R_s = \frac{2GM}{c^2}$$

Dengan $M$ adalah massa bintang. Karena massa bintang adalah 5 kali massa Matahari, maka:

$$M = 5 \times M_{\odot} = 5 \times 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}$$

Langkah-langkah perhitungan:

1. Hitung massa bintang:

   $$M = 9.945 \times 10^{30} \, \text{kg}$$
   

2. Substitusi nilai $G$, $M$, dan $c$ ke dalam rumus:

$$R_s = \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 9.945 \times 10^{30}}{(3 \times 10^8)^2}$$

3. Hitung nilai $R_s$:

$$R_s = \frac{1.328 \times 10^{21}}{9 \times 10^{16}} = 1.476 \times 10^4 \, \text{m}$$

Jadi, radius Schwarzschild dari bintang tersebut adalah 14.76 km.

Soal:

Sebuah bintang berada pada jarak 10 parsec dari Bumi. Bintang ini memiliki magnitudo semu (apparent magnitude) sebesar 6. Jika bintang tersebut mengalami peningkatan luminositas sehingga menjadi 100 kali lebih terang, berapa magnitudo semu baru yang akan diamati dari Bumi?

Jawaban:

Hubungan antara luminositas bintang dan magnitudo semu diberikan oleh rumus:

$$m_2 - m_1 = -2.5 \log \left( \frac{L_2}{L_1} \right)$$

Di mana:

• $m_1$ adalah magnitudo semu awal (diketahui $m_1 = 6$),
• $m_2$ adalah magnitudo semu akhir (yang akan kita cari),
• $L_2$ dan $L_1$ adalah luminositas akhir dan awal,
• Perubahan luminositas $L_2 = 100 \times L_1$ (karena bintang menjadi 100 kali lebih terang).

Langkah-langkah perhitungan:

1. Substitusi nilai $L_2/L_1 = 100$ ke dalam persamaan:

$$m_2 - 6 = -2.5 \log(100)$$

2. Hitung logaritma:

$$\log(100) = 2$$

3. Substitusi hasil logaritma:

$$m_2 - 6 = -2.5 \times 2$$

4. Selesaikan persamaan:

$$m_2 - 6 = -5$$
$$m_2 = 6 - 5 = 1$$

Jadi, magnitudo semu baru bintang tersebut setelah peningkatan luminositas adalah 1.