Gerak Satelit di Orbit Elips (soal Olimpiade fisika dan pembahasannya)

Soal: Gerak Satelit di Orbit Elips

Sebuah satelit bergerak dalam orbit elips mengelilingi sebuah planet dengan massa $M = 6 \times 10^{24} \, \text{kg}$. Pada titik terdekatnya (periapsis), satelit berada pada jarak $r_p=7.000\text{km dari pusat planet dan memiliki kecepatan }$$v_p = 8 \, \text{km/s}$. Pada titik terjauh (apoapsis), satelit berada pada jarak $r_a = 15.000 \, \text{km}$ dari pusat planet.

1. Tentukan kecepatan satelit di titik apoapsis.
2. Hitung energi mekanik total satelit dalam orbit tersebut.
3. Analisis berapa banyak energi yang harus ditambahkan ke satelit di periapsis agar satelit bisa masuk ke orbit lingkaran dengan jari-jari $r_p$.
4. Jika planet memiliki atmosfer tipis di sekitar periapsis, bagaimana pengaruhnya terhadap orbit satelit? Analisis secara kualitatif.

---

Jawaban dan Analisis:

Langkah 1: Mencari Kecepatan di Apoapsis

Kecepatan satelit di titik terdekat (periapsis) dan titik terjauh (apoapsis) dalam orbit elips dapat dihitung menggunakan hukum kekekalan momentum sudut. Dalam orbit elips, momentum sudut satelit adalah konstan:

$$m v_p r_p = m v_a r_a$$

Maka, kecepatan di titik apoapsis $v_a$ adalah:

$$v_a = v_p \frac{r_p}{r_a}$$

Substitusi nilai $v_p = 8 \, \text{km/s} = 8.000 \, \text{m/s}$, $r_p = 7.000 \, \text{km} = 7 \times 10^6 \, \text{m}$, dan $r_a = 15.000 \, \text{km} = 15 \times 10^6 \, \text{m}$:

$$v_a = 8.000 \times \frac{7 \times 10^6}{15 \times 10^6} = 8.000 \times \frac{7}{15} = 3.733,3 \, \text{m/s}$$

Jadi, kecepatan satelit di apoapsis adalah sekitar 3.733 m/s.

---

Langkah 2: Menghitung Energi Mekanik Total Satelit

Energi mekanik total satelit dalam orbit elips adalah jumlah dari energi kinetik dan energi potensial gravitasi. Kita bisa menggunakan rumus umum untuk energi mekanik total satelit di orbit:

$$E_{\text{total}} = - \frac{GMm}{2a}$$

di mana $a$ adalah semi-major axis (sumbu semi-mayor) orbit elips. Nilai $a$ dapat dihitung sebagai:

$$a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{7 \times 10^6 + 15 \times 10^6}{2} = 11 \times 10^6 \, \text{m}$$

Substitusi nilai $G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2$, $M = 6 \times 10^{24} \, \text{kg}$, dan $a = 11 \times 10^6 \, \text{m}$:

$$E_{\text{total}} = - \frac{6,67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times m}{2 \times 11 \times 10^6}$$

Setelah penyederhanaan:

$$E_{\text{total}} = - \frac{4,002 \times 10^{14} \times m}{2 \times 11 \times 10^6} = - \frac{4,002 \times 10^{14} \times m}{22 \times 10^6}$$ $$E_{\text{total}} = -18,2 \times 10^6 \, m \, \text{J}$$

Ini adalah energi mekanik total per satuan massa satelit (J/kg). Untuk menghitung energi total, kalikan dengan massa satelit $m$, yang tidak diketahui secara pasti dalam soal.

---

Langkah 3: Energi yang Diperlukan untuk Orbit Lingkaran

Untuk mengubah orbit elips menjadi orbit lingkaran dengan jari-jari $r_p$, satelit harus memiliki kecepatan orbit lingkaran di periapsis. Kecepatan untuk orbit lingkaran adalah:

$$v_{\text{lingkaran}} = \sqrt{\frac{GM}{r_p}}$$

Substitusi nilai $G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2$, $M = 6 \times 10^{24} \, \text{kg}$, dan $r_p = 7 \times 10^6 \, \text{m}$:

$$v_{\text{lingkaran}} = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{7 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{4,002 \times 10^{14}}{7 \times 10^6}} = \sqrt{5,717 \times 10^7} = 7.561 \, \text{m/s}$$

Jadi, untuk berada di orbit lingkaran di $r_p$, satelit harus memiliki kecepatan $7.561 \, \text{m/s}$. Kecepatan di periapsis sebelumnya adalah $v_p = 8.000 \, \text{m/s}$, sehingga satelit harus mengurangi kecepatannya. Energi kinetik yang perlu dikurangi adalah:

$$\Delta E = \frac{1}{2} m (v_p^2 - v_{\text{lingkaran}}^2)$$

Substitusi $v_p = 8.000 \, \text{m/s}$ dan $v_{\text{lingkaran}} = 7.561 \, \text{m/s}$:

$$\Delta E = \frac{1}{2} m (8.000^2 - 7.561^2) = \frac{1}{2} m (64.000.000 - 57.149.721) = \frac{1}{2} m \times 6.850.279 = 3.425.139,5 \, m \, \text{J}$$

Energi sebesar 3,43 MJ/kg harus dikurangi agar satelit masuk ke orbit lingkaran.

---

Langkah 4: Pengaruh Atmosfer Tipis pada Orbit

Jika planet memiliki atmosfer tipis di sekitar periapsis, satelit akan mengalami gaya gesekan saat melewati periapsis. Gesekan ini akan mengurangi kecepatan satelit sedikit demi sedikit setiap kali melewati periapsis. Akibatnya, orbit satelit akan mengalami penurunan ketinggian di apoapsis, menyebabkan orbit menjadi lebih elips dari waktu ke waktu. Jika gesekan terus berlanjut, orbit akhirnya akan menyusut secara keseluruhan, dan satelit dapat jatuh ke planet jika energi kinetiknya cukup banyak hilang.

---

Kesimpulan:

1. Kecepatan satelit di titik apoapsis lebih rendah dibandingkan di periapsis karena prinsip kekekalan momentum sudut.
2. Energi mekanik total satelit negatif, menunjukkan bahwa satelit terikat oleh gaya gravitasi planet.
3. Satelit harus mengurangi kecepatannya agar masuk ke orbit lingkaran di periapsis, dan energi yang perlu dikurangi dihitung berdasarkan perubahan energi kinetik.
4. Gesekan atmosfer tipis dapat menyebabkan orbit satelit semakin menyusut seiring waktu, yang dapat membuat satelit jatuh ke planet.

Read More