Soal: Kapasitor dan Resistansi dalam Rangkaian RC Seri dan pembahasannya (olimpiade Fisika)

Soal: Kapasitor dan Resistansi dalam Rangkaian RC Seri

Sebuah rangkaian RC seri terdiri dari sebuah baterai dengan tegangan $V = 12 \, \text{V}$, sebuah resistor dengan resistansi $R = 10 \, \Omega$, dan sebuah kapasitor dengan kapasitansi $C = 200 \, \mu\text{F}$. Kapasitor awalnya tidak bermuatan. Ketika saklar ditutup, rangkaian mulai mengisi kapasitor.

1. Tentukan persamaan tegangan pada kapasitor sebagai fungsi waktu, $V_C(t)$, dan arus pada rangkaian, $I(t),\; saat\; kapasitor\; mengisi.$
2. Hitung waktu yang diperlukan agar kapasitor terisi hingga $63\%$ dari muatan maksimum.
3. Analisis apa yang terjadi pada tegangan dan arus setelah waktu yang sangat lama berlalu.
4. Tentukan energi total yang tersimpan dalam kapasitor setelah terisi penuh dan bandingkan dengan energi total yang disuplai oleh baterai.

---

Jawaban dan Analisis:

Langkah 1: Persamaan Tegangan pada Kapasitor dan Arus dalam Rangkaian RC Seri

Dalam rangkaian RC seri, tegangan pada kapasitor $V_C(t)$ dan arus $I(t)$ berubah seiring waktu saat kapasitor mengisi. Tegangan pada kapasitor sebagai fungsi waktu diberikan oleh:

$$V_C(t) = V \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$$

Di mana $\tau$ adalah konstanta waktu rangkaian, $\tau = RC$.

Untuk arus $I(t)$, kita menggunakan persamaan:

$$I(t) = \frac{V}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}$$

Dengan nilai $R = 10 \, \Omega$ dan $C=200\mu \text{F}=200\times 10^{-6}\text{F, konstanta waktu }$$\tau$ adalah:

$$\tau = RC = 10 \times 200 \times 10^{-6} = 0,002 \, \text{detik}$$

Jadi, persamaan tegangan pada kapasitor:

$$V_C(t) = 12 \left( 1 - e^{-\frac{t}{0,002}} \right)$$

dan arus:

$$I(t) = \frac{12}{10} e^{-\frac{t}{0,002}} = 1,2 e^{-\frac{t}{0,002}} \, \text{A}$$

Langkah 2: Menghitung Waktu untuk Muatan 63% dari Maksimum

Kapasitor akan terisi hingga $63\%$ dari tegangan maksimum dalam waktu satu konstanta waktu, $t = \tau$. Jadi, waktu yang diperlukan agar kapasitor terisi hingga $63\%$ dari tegangan maksimum adalah:

$$t = \tau = 0,002 \, \text{detik}$$

Langkah 3: Tegangan dan Arus setelah Waktu yang Lama

Setelah waktu yang sangat lama (teoretisnya $t \to \infty$), kapasitor akan terisi penuh dan tegangan pada kapasitor akan sama dengan tegangan baterai. Tegangan pada kapasitor saat $t \to \infty$ adalah:

$$V_C(\infty) = 12 \, \text{V}$$

Sedangkan arus pada rangkaian akan menjadi nol, karena tidak ada perubahan tegangan yang mendorong aliran muatan:

$$I(\infty) = 0 \, \text{A}$$

Langkah 4: Energi yang Tersimpan dalam Kapasitor

Energi yang tersimpan dalam kapasitor setelah terisi penuh diberikan oleh:

$$E_C = \frac{1}{2} C V^2$$

Substitusi nilai $C = 200 \times 10^{-6} \, \text{F}$ dan $V = 12 \, \text{V}$:

$$E_C = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-6} \times (12)^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-6} \times 144 = 0,0144 \, \text{J}$$

Energi total yang disuplai oleh baterai adalah:

$$E_{\text{baterai}} = V \times Q = V \times CV = 12 \times 200 \times 10^{-6} \times 12 = 0,0288 \, \text{J}$$

Hanya setengah dari energi yang disuplai oleh baterai disimpan dalam kapasitor. Sisanya hilang sebagai panas di resistor selama pengisian kapasitor.

---

Kesimpulan:

1. Persamaan tegangan dan arus dalam rangkaian RC seri menunjukkan perubahan eksponensial saat kapasitor mengisi.
2. Dalam waktu satu konstanta waktu ($\tau$), kapasitor terisi hingga 63% dari kapasitas maksimalnya.
3. Setelah waktu lama, arus menjadi nol dan tegangan pada kapasitor mencapai nilai maksimum yang sama dengan tegangan baterai.
4. Energi yang disimpan dalam kapasitor adalah setengah dari energi total yang disuplai oleh baterai, dengan sisa energi hilang sebagai panas di resistor.

Soal ini membutuhkan analisis yang mendalam tentang perubahan waktu dalam rangkaian RC dan penggunaan konsep energi serta hukum Ohm.

Read More