Pembahasan Soal Gelombang Mekanik

Soal 1
Dua buah garpu tala masing-masing memiliki frekuensi 512 Hz dan 520 Hz. Kedua garpu tala tersebut dipukul secara bersamaan di dekat ujung atas sebuah pipa organa tertutup yang panjangnya 85 cm. Kecepatan bunyi di udara adalah 340 m/s.

a) Apakah terjadi resonansi pada pipa untuk salah satu atau kedua frekuensi garpu tala tersebut?
b) Hitung frekuensi beat yang terdengar jika resonansi terjadi pada kedua garpu tala.

Jawaban:

a) Panjang pipa organa tertutup ($L$) harus memenuhi syarat resonansi pada nada dasar:

$$L = \frac{\lambda}{4}$$

Untuk resonansi pada frekuensi $f$, panjang gelombang $\lambda$ dihitung dengan:

$$\lambda = \frac{v}{f}$$

Untuk $f = 512 \, \text{Hz}$:

$$\lambda = \frac{340}{512} \approx 0,664 \, \text{m}$$

Resonansi terjadi jika:

$$L = \frac{0,664}{4} \approx 0,166 \, \text{m}$$

Panjang pipa 85 cm jauh lebih besar dari 16,6 cm, sehingga tidak terjadi resonansi untuk frekuensi 512 Hz.

Untuk $f = 520 \, \text{Hz}$:

$$\lambda = \frac{340}{520} \approx 0,654 \, \text{m}$$

Resonansi terjadi jika:

$$L = \frac{0,654}{4} \approx 0,163 \, \text{m}$$

Sama seperti frekuensi 512 Hz, resonansi juga tidak terjadi untuk frekuensi 520 Hz pada nada dasar.

b) Untuk beat, kita menghitung selisih frekuensi kedua garpu tala:

$$f_{\text{beat}} = |f_1 - f_2| = |520 - 512| = 8 \, \text{Hz}$$

Namun, karena tidak ada resonansi pada kedua frekuensi, tidak ada beat yang terdengar.

Soal 2
Sebuah pipa organa terbuka panjangnya dapat diatur. Sebuah garpu tala dengan frekuensi 440 Hz didekatkan ke pipa tersebut. Resonansi terjadi saat panjang pipa diatur menjadi 19,5 cm dan 58,5 cm. Tentukan kecepatan bunyi di udara dan frekuensi harmonik mana yang terjadi pada masing-masing panjang pipa tersebut.

Jawaban:

Panjang pipa untuk resonansi pertama ($L_1$) adalah 19,5 cm, dan untuk resonansi kedua ($L_2$) adalah 58,5 cm. Karena pipa ini terbuka, resonansi terjadi pada panjang yang merupakan kelipatan dari setengah panjang gelombang ($\frac{\lambda}{2}$).

Untuk resonansi pertama:

$$L_1 = \frac{\lambda}{2}$$ $$\lambda = 2L_1 = 2 \times 0,195 = 0,39 \, \text{m}$$

Kecepatan bunyi ($v$) dapat dihitung dengan:

$$v = f \times \lambda = 440 \, \text{Hz} \times 0,39 \, \text{m} = 171,6 \, \text{m/s}$$

Jadi, kecepatan bunyi di udara adalah 171,6 m/s.

Untuk resonansi kedua, panjang pipa:

$$L_2 = \frac{3\lambda}{2}$$

dari sini, kita dapat menghitung panjang gelombang:

$$\lambda = \frac{2L_2}{3} = \frac{2 \times 0,585}{3} = 0,39 \, \text{m}$$

Dengan frekuensi harmonik ke-3 untuk $L_2$, kita bisa melihat bahwa resonansi terjadi pada harmonik pertama untuk panjang 19,5 cm dan harmonik ke-3 untuk panjang 58,5 cm.