Soal: Gerak Proyektil di Medan Gravitasi Variabel dan Pembahasannya (Soal Olimpiade Fisika)

Soal: Gerak Proyektil di Medan Gravitasi Variabel

Sebuah peluru ditembakkan dengan sudut elevasi $\theta = 60^\circ$ dan kecepatan awal $v_0 = 500 \, \text{m/s}$ dari permukaan sebuah planet hipotetis dengan jari-jari $R = 5000 \, \text{km}$ dan percepatan gravitasi permukaan $g_0 = 8 \, \text{m/s}^2$. Pada planet ini, gravitasi menurun secara bertahap dengan jarak dari pusat planet sesuai dengan hukum:

$$g(r) = g_0 \left( \frac{R}{r} \right)^2$$

di mana $r$ adalah jarak dari pusat planet. Asumsikan tidak ada hambatan udara.

1. Hitung jarak maksimum horizontal yang dapat ditempuh peluru sebelum jatuh kembali ke permukaan planet.
2. Tentukan waktu total yang diperlukan hingga peluru kembali ke permukaan.
3. Analisis bagaimana hasilnya berbeda jika percepatan gravitasi dianggap konstan, seperti di Bumi.

---

Jawaban dan Analisis:

Langkah 1: Menentukan komponen kecepatan awal

Komponen kecepatan awal dapat diuraikan ke dalam sumbu-x (horizontal) dan sumbu-y (vertikal):

$$v_{0x} = v_0 \cos \theta = 500 \times \cos 60^\circ = 500 \times 0,5 = 250 \, \text{m/s}$$
$$v_{0y} = v_0 \sin \theta = 500 \times \sin 60^\circ = 500 \times 0,866 = 433 \, \text{m/s}$$

Langkah 2: Menganalisis gerak vertikal dengan gravitasi variabel

Gravitasi berubah seiring dengan ketinggian, sehingga kita tidak bisa menggunakan persamaan gerak lurus dengan percepatan konstan. Kita harus menghitung gerak vertikal menggunakan prinsip energi mekanik.

Energi mekanik total pada setiap titik harus tetap konstan. Energi kinetik awal dan energi potensial gravitasi di permukaan adalah:

$$E_{\text{total}} = \frac{1}{2} mv_0^2 - \frac{GMm}{R}$$

di mana $M$ adalah massa planet, dan $G$ adalah konstanta gravitasi universal.

Pada titik tertinggi, komponen vertikal dari kecepatan akan nol, sehingga semua energi kinetik berubah menjadi energi potensial:

$$E_{\text{total}} = - \frac{GMm}{r_{\text{max}}}$$

Kita bisa menggunakan hubungan $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ untuk menyederhanakan:

$$E_{\text{total}} = \frac{1}{2} mv_0^2 - mg_0 R$$$$\frac{1}{2} mv_0^2 - mg_0 R = -mg_0 \frac{R^2}{r_{\text{max}}}$$ $$\frac{1}{2} v_0^2 - g_0 R = -g_0 \frac{R^2}{r_{\text{max}}}$$

Substitusi nilai $v_0$, $g_0$, dan $R$:

$$\frac{1}{2} (433)^2 - 8 \times 5 \times 10^6 = -8 \times \frac{(5 \times 10^6)^2}{r_{\text{max}}}$$

Dari sini, kita bisa menghitung $r_{\text{max}}$, yang merupakan jarak maksimum dari pusat planet ke titik tertinggi yang dicapai peluru.

Langkah 3: Menganalisis gerak horizontal

Selama peluru berada di udara, tidak ada percepatan horizontal, sehingga kecepatan horizontal tetap konstan $v_{0x} = 250 \, \text{m/s}$.

Untuk menentukan jarak horizontal total $R_{\text{max}}$, kita harus menentukan waktu total peluru berada di udara, yang akan kita temukan setelah menentukan gerak vertikal sepenuhnya.

Langkah 4: Mencari waktu total

Waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi adalah ketika komponen vertikal kecepatannya nol. Kita dapat menggunakan hukum kekekalan energi untuk menemukan $t_{\text{total}}$, yang kemudian digunakan untuk menghitung jarak horizontal total.

Langkah 5: Perbandingan dengan gravitasi konstan

Jika gravitasi dianggap konstan, kita dapat menggunakan persamaan gerak parabola standar untuk menghitung waktu total di udara dan jarak horizontal. Dalam kasus ini, kita bisa menggunakan:

$$t_{\text{total}} = \frac{2v_0 \sin \theta}{g}$$ $$R_{\text{max}} = v_{0x} \times t_{\text{total}}$$

Menganalisis hasil untuk kedua kasus (gravitasi variabel dan konstan) menunjukkan perbedaan signifikan. Gravitasi variabel menyebabkan peluru mencapai jarak horizontal yang lebih pendek karena gaya gravitasi menurun lebih lambat saat ketinggian meningkat, sehingga peluru membutuhkan waktu lebih lama untuk kembali ke permukaan.

---

Kesimpulan:

1. Gerak vertikal dalam medan gravitasi variabel sangat dipengaruhi oleh perubahan gravitasi seiring dengan ketinggian.
2. Solusi lengkap memerlukan penggunaan hukum kekekalan energi dan kalkulasi numerik yang lebih lanjut.
3. Pada planet dengan gravitasi variabel, jarak horizontal yang ditempuh akan lebih pendek dibandingkan jika gravitasi konstan seperti di Bumi.

Soal ini membutuhkan analisis mendalam tentang hubungan gravitasi variabel, kekekalan energi, dan gerak dua dimensi.